Как работает теорема Виета при дискриминанте равном нулю

Теорема Виета – это одно из ключевых понятий в алгебре, которое позволяет установить связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.

Когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю, это означает, что уравнение имеет только один корень. Данное значение дискриминанта является особенным, так как оно связано с коэффициентами квадратного уравнения определенным образом.

По теореме Виета, если дискриминант равен нулю, то корни квадратного уравнения обозначаются символами α и β, и справедливы следующие формулы: α + β = -b/a и α * β = c/a. Здесь a, b и c — это соответствующие коэффициенты квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0.

Таким образом, теорема Виета при дискриминанте равном нулю позволяет нам с легкостью находить значения корней квадратного уравнения и связывать их с коэффициентами уравнения. Это очень полезное свойство, которое позволяет решать задачи и проводить алгебраические преобразования с квадратными уравнениями.

Теорема Виета и дискриминант равный нулю: как это работает?

Одна из основных составляющих теоремы Виета — это связь между коэффициентами уравнения и его корнями. Квадратное уравнение имеет вид ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c — заданные коэффициенты, а x — неизвестное.

Если дискриминант уравнения (D) равен нулю, то это означает, что у уравнения есть один единственный корень. Это можно записать формулой: D = b^2 — 4ac = 0.

Для такого случая теорема Виета имеет следующий вид: сумма корней уравнения равна -b/a, а произведение корней равно c/a.

Таким образом, если дискриминант равен нулю, то отсутствуют два различных корня, а уравнение имеет один корень, который можно найти по формуле x = -b/2a, где а и b — коэффициенты уравнения.

Теорема Виета и связанный с ней дискриминант равный нулю очень удобны в решении квадратных уравнений. Они позволяют найти значения корней без лишних вычислений и предоставляют информацию о связи между коэффициентами уравнения и его корнями.

Суть теоремы Виета

Теорема Виета устанавливает связь между корнями и коэффициентами многочлена. Она утверждает, что сумма корней многочлена равна отрицательному коэффициенту при старшей степени многочлена, а произведение корней равно коэффициенту свободного члена, разделенному на коэффициент при старшей степени.

Формально, если задан многочлен вида:

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀

где a_i — коэффициенты, а x — переменная, то корни этого многочлена можно найти, применяя теорему Виета:

• Сумма корней многочлена равна -a_n-1/a_n.
• Произведение корней многочлена равно (-1)ⁿ*a₀/a_n.

Таким образом, теорема Виета позволяет найти сумму и произведение корней квадратного уравнения либо любого другого многочлена.

Понятие дискриминанта

В общем виде квадратное уравнение можно записать в виде: ax² + bx + c = 0, где a, b и c – это коэффициенты уравнения.

Дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле: D = b² — 4ac. Значение дискриминанта определяет характер корней уравнения и может принимать три варианта:

1. Если D > 0, то у уравнения два различных вещественных корня;

2. Если D = 0, то у уравнения есть один вещественный корень кратности 2;

3. Если D < 0, то у уравнения нет вещественных корней.

Влияние дискриминанта на теорему Виета

Дискриминант квадратного уравнения определяет его тип и количество корней. При условии, что дискриминант равен нулю, квадратное уравнение имеет только один корень, который называется удвоенным.

В контексте теоремы Виета это означает, что сумма корней их произведение равны нулю и становится очевидным. Другими словами, если дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение имеет только один корень, и этот корень будет совпадать с суммой и произведением корней по теореме Виета.

Таким образом, дискриминант является важным элементом теоремы Виета и может влиять на ее результаты. При дискриминанте равном нулю, теорема Виета даёт дополнительное условие для корней уравнения и предоставляет удобный способ их нахождения.